Limites

INTRODUCCIÓN A LOS LIMITES

Suponga que esta viajando en un automóvil y presiona el acelerador, si mantiene el acelerador presionado constantemente la velocidad comienza a aumentar rápidamente, después de un tiempo la velocidad aumenta mas lentamente, conforme pasa el tiempo la velocidad parece acercarse lentamente a una velocidad máxima o a un limite.

que tal si graficamos esto:

suponga que graficamos la velocidad como funcion del tiempo, conforme mantengo presionado el acelerador la velocidad del automóvil aumenta aumenta y aumenta pero después de un tiempo la velocidad se acerca a un limite que en nuestro caso es 340 km/h; y no importa que tan fuerte presione el acelerador ni cuanto tiempo pase simplemente no puedo ir mas rápido que 340 km/h.

Ahora nosotros sabemos que esto es una asimptota horizontal, pero también podemos llamarlo un limite.

los limites están en todos lados,desde un auto que no puede superar una velocidad limite, a un paracaidista que una ves alcanza cierta velocidad no puede sobrepasarla, hasta la paciencia de una mama.

Ejemplo 1

Sigamos con un ejemplo,digamos que te piden hallar el limite cuando x tiende a 1 de la siguiente funcion:

podemos graficar la funcion normalmente sin embargo en x=1 no sabríamos que hacer, pero podemos usar una tabla de valores de la siguiente manera:

que sucede si nos acercamos por la izquierda?; como vemos la función se acerca a 3; ahora veamos que pasa con valores que se aproximen por la derecha; como vemos la función tiende a tomar valores cercanos a 3 también,  esto nos da una idea del comportamiento de la función cerca a 1, ya que no podemos encontrar el valor de la función analíticamente en x=1; si lo intentáramos obtendríamos una indeterminación de la forma 0/0.

la gráfica de la función tiene un hueco en el punto x=1, y=3 , x, no puede ser igual a 1 ya que obtendríamos una indeterminación  pero podemos movernos muy cerca a 1, y como resultado la función tomara valores muy cercanos a 3.

usando la notación de limite podemos escribir

que se lee de la siguiente forma: el limite de la función f(x) cuando x se aproxima a 1 es igual a 3.

de acá podemos obtener la siguiente definición

Cuando se halla el limite cuando x tiende a c,  nunca consideramos el valor de f(x) en x=c, la verdad  la función no necesita estar definida en x=c, lo único que nos importa es el comportamiento de la función cerca a x=c.

Ejemplo 2

sigamos con otro ejemplo: Estimar el siguiente limite

Dado que estamos hallando estos limites numéricamente y gráficamente podemos empezar con hacer una tabla de valores:

En el primer caso x se aproxima a cero por la izquierda, como vemos la función toma valores cercanos a 4.

Ahora x se aproxima a cero por la derecha y la función toma también valores cercanos a 4

Si graficamos la función observamos que hay un hueco  en x=0, pero de la gráfica podemos ratificar que el limite es 4.

De este ejemplo debemos notar algo sumamente importante, y es que la función tiene un hueco en x=0 este hueco se obtiene porque si reemplazamos por x=0 dentro de la función obtenemos una indeterminación de la forma 0/0, sin embargo el limite si existe y su valor es 4.

De acá se sigue que la existencia o no existencia de la función en x=0 no influye en la existencia o no existencia del limite de la función en x=0. y esto es también cierto para cualquier valor diferente de x=0.

Ejemplo 3

Ahora miremos otro ejemplo, suponga que te piden hallar el limite de la función definida de la siguiente manera f(x)= 1 para x diferente de 3 y f(x) = 0 para x igual a 3.

Como podríamos hallar ese limite? bueno, un buen inicio podría ser graficar la función acá tenemos 2 opciones el limite podría ser 0 o el limite podría ser 1, bueno en realidad el valor de la función cuando x= 3 es 0 pero el limite cuando x tiende a 3 es 1 pero porque? .

Recuerdas que cuando hallamos limites estamos tratando de hallar el valor de la función cuando x tiende a un numero, esto es bien distinto al valor de la función cuando x es igual al numero

por ejemplo si la función estuviera definida como f(x)=1 para x diferente de 3 y f(x)=2 para x=3 

El limite seguiría siendo el mismo esto es el limite seguiría siendo 1.

LIMITES QUE NO EXISTEN

Intentemos hallar el siguiente limite

Ejemplo 4

un buen inicio seria hacer la gráfica de esta función.

De la gráfica observamos que la función crece sin limite conforme x se aproxima a cero, dado que la función no se esta acercando a ningún numero en especifico, se puede concluir que el limite no existe.

Ejemplo 5

Intentemos ahora con el siguiente limite

De nuevo podemos ayudarnos con una gráfica. 

Como vemos a medida que nos acercamos a cero la función comienza a oscilar, así que el limite no existe debido a que la función no se acerca a ningún numero especifico cuando x tiende a cero.

Ejemplo 6

Ahora intentemos hallar el siguiente limite

De nuevo una gráfica nos ayudara a estimar el limite.

Como vemos cuando nos acercamos a 2 por la izquierda el valor de la función es -1 pero cuando nos acercamos por la derecha el valor de la función es 1, de esto se sigue que el limite no existe ya que cuando nos acercamos a 2 por ambos lados la función se acerca a 2 valores distintos.

de los anteriores ejemplos podemos sacar las siguientes conclusiones; si llamamos (c) el numero al que nos estamos aproximando entonces tenemos que:

CALCULO ANALÍTICO DE LIMITES

sigamos con ejemplos sobre como calcular analíticamente limites, pero antes veamos un principio que nos permitirá hallar el limite de la mayoría de las funciones que nos encontremos.

Bueno pero que es una función continua?

esto podemos entenderlo mejor con una gráfica

Como podemos ver esta función no tiene saltos, y esta definida en todos los puntos, así que tiene sentido que si nos aproximamos a un numero como por ejemplo c por la  izquierda o por la derecha vamos a encontrarnos con el valor de la función en ese numero esto es f(c), ya que la función es continua en todo su dominio;

muy distinto a la siguiente función que posee tres discontinuidades.

Cuando queremos acercarnos a (a)  nos encontramos que la función tiene un salto en ese numero, así que en este caso la funcion es discontinua,  cuando intentamos acercarnos a (b) la función crece sin limite así que en este caso la funcion también es discontinua, ahora cuando intentamos acercarnos a (c) vemos que la función tiene un hueco en ese punto, y por la tanto tiene una discontinuidad en c.

EJEMPLOS DE CALCULO ANALÍTICO DE LIMITES

intentemos calcular el siguiente limite

Ejemplo 7

Esta es una función polinomica y estas funciones son continuas en todos los puntos, así que para hallar este limite solo tenemos que calcular el valor de la función en x=2.

Ejemplo 8

Ahora tratemos de hallar el siguiente limite

Si graficamos esta función, como se observa en la figura.

observamos que esta función no es continua en todo su dominio, dado que tiene una asimptota vertical en x= -1, de modo que si intentáramos hallar el limite en x= -1, este limite no existiría,  pero estamos intentando hallar el limite cuando x tiende a 1, y en este punto la función si es continua, esto implica que el limite de la función cuando x tiende a 1 es igual al valor de la función en x=1, esto es el limite es igual a 4.

De estos ejemplos podemos observar que el truco esta en la continuidad de la función, de modo que si te piden calcular el limite de una función en un punto en el que la función es continua, solo se tiene que hallar el valor de la función en ese punto, y no importa que la función sea

• Una función trigonométrica 
• funciones con raíces cuadradas
• funciones racionales
• funciones polinomica  

porque esas funciones son continuas, incluso no necesitan ser continuas en todo su dominio, solo necesitan serlo en el punto donde queremos hallar el limite.

sigamos con mas ejemplos:

Ejemplo 9

calculemos el siguiente limite

Un buen inicio podría ser calcular el valor de la función en ese punto.

Como vemos obtenemos una indeterminación  esto implica que la función no es continua en ese punto; entonces que podemos hacer?

bueno podemos hacer la gráfica de la función.

De esta gráfica podemos observar que la función tiene un hueco en x= -1 , y= 3, pero aunque la funcion no este definida en ese punto de esta gráfica podemos estimar estimar que el limite es 3.

Ahora intentemos comprobar esto analíticamente

observamos que el numerador puede factorizarse, llevando a cabo la factorizacion observamos que un factor del numerador se elimina con un factor del denominador, ahora obtenemos una funcion polinomica equivalente a la funcion original, y que ademas es continua de modo que podemos calcular el limite simplemente hallando el valor de la funcion en x= -1 con lo que obtenemos que el limite es 3.

Ejemplo 11

Intentemos ahora con el siguiente limite

Como podemos observar si intentamos calcular el limite analíticamente obtendríamos una indeterminación

De nuevo podemos ayudarnos con la gráfica de la funcion, observamos que la funcion tiene un hueco en x=0, pero no importa que la funcion no este definida en x=0; así que de la gráfica podemos estimar que el limite es 0.5

Podemos calcular analíticamente el limite si racionalizamos el numerador

Esto es debemos multiplicar por el complejo conjugado,simplificar, cancelar la x en el numerador y en denominador, y por fin obtendríamos una funcion equivalente con la cual podemos calcular el limite.

TEOREMA DEL ENCAJE

Supongamos que tenemos un paisaje en frente, y que tenemos dos ríos  ambos ríos se unen en una ciudad, pero entre los dos ríos existe otro rió  este rió que esta en medio, no puede traspasar al rió que esta en la parte superior, ni tampoco al rió que esta en la parte inferior, esto es el rió esta encajado entre los otros dos, de modo que la única posibilidad es que se encuentre con los otros dos ríos  en la ciudad; podríamos decir que el limite de los dos ríos de los extremos es la ciudad, y como el rió que esta en medio esta "encajado" entre ellos se sigue que su limite tiene que ser la ciudad también.

Un razonamiento similar se utiliza con las funciones
donde se tiene una funcion complicada a la cual se le quiere hallar el limite.

Digamos que queremos hallar el limite de la siguiente funcion

si tan solo intentáramos hallar este limite analíticamente obtendríamos lo siguiente:

Uff...con solo ese calculo ya sabemos que no podemos calcular este limite analíticamente  dado que la funcion no es continua en x=0, sin embargo aunque la funcion sea discontinua en x=0, el limite cuando x tiende a cero si puede existir, para intentar hallar este limite podemos usar otro enfoque.

Comencemos graficando la funcion

Observamos que la funcion tiene muchas oscilaciones cuando nos acercamos a x=0, si graficamos las funciones f(x)= x y f(x) = -x en la misma gráfica obtenemos lo siguiente:

Como observamos la funcion f(x)=xsin(1/x) esta entre las funciones f(x)= -x,  y  f(x)= x, ademas como 

y 

y como xsin(1/x) esta "encajada" entre f(x)=x y
f(x)=-x tenemos que 

De estos ejemplos podemos obtener la siguiente definición del teorema del encaje

CONTINUIDAD

Ahora estamos en un terreno muy cerca a un volcán 

Si tomáramos una vista transversal del terreno obtendríamos algo como lo siguiente.

Como podemos observar este es un trazo continuo,  podemos dibujar este camino sin levantar el lápiz del papel. pero entonces ocurre lo inesperado, un gigantesco terremoto, este terremoto causa una elevación del terreno, y el trazo que antes era continuo ahora se convirtió en algo como esto:

Como vemos el terreno se ha levantado en una parte  observamos que este es un camino discontinuo, porque tendríamos que levantar el lápiz del papel para poder trazarlo.   

ahora estudiaremos estas discontinuidades;
en matematicas existen 3 tipos de discontinuidades
en el primer tipo de discontinuidad la funcion no esta definida en el punto c

Otro tipo de discontinuidad es el que se muestra a continuación

Como vemos cuando nos acercamos al punto c por la izquierda obtenemos un valor para el limite, pero si nos acercamos al punto c por la derecha, el limite de la funcion es otro, debido a esto el limite en el punto c no existe, y la funcion es discontinua en ese punto.

la siguiente es otro tipo de discontinuidad

Como vemos el limite de esta funcion en el punto c si existe, sin embargo el valor de la funcion en el punto c es diferente al valor de su limite en ese punto por lo tanto la funcion es discontinua en ese punto

acabamos de observar 3 tipos de discontinuidades, y basándonos en esos tipos de discontinuidades, podemos formular la definición de continuidad en un punto como sigue.

como vemos son 3 condiciones pero si observamos esas 3 condiciones se reducen solo a la siguiente condición:

Bueno ahora vamos con unos ejemplos

Ejemplo 12

Verifiquemos donde es discontinua la siguiente funcion

como podemos observar si evaluamos la funcion en x= 1, obtendríamos una indeterminación de la forma 0/0, ahora si graficamos la funcion obtenemos una parábola con un hueco en x=1.

por lo tanto la funcion es discontinua en x=1
sin embargo el punto x=1 no esta en el dominio de la funcion el cual es (-oo 1) U (1 oo) por lo tanto dado que el dominio de a funcion no incluye el punto x=1 se puede decir que la funcion es continua en su dominio

Ejemplo 13Intentemos ahora con la siguiente funcion

Esta funcion tiene una discontinuidad en x=1 debido a que en ese punto su denominador es cero, y obtenemos una asimptota vertical como se muestra en la gráfica

osea que la funcion es discontinua en x=1, sin embargo x=1 no esta en e dominio de a funcion que es (-oo, 1) U (1, oo) entonces se puede decir que la funcion es continua en todo su dominio.


Ejemplo 14

Intentemos ahora con la siguiente funcion

esta funcion trigonométrica es continua en toda la recta real como podemos comprobar de su gráfica

De acá se comprueba que la funcion es continua en todo su dominio que es (-oo, oo).

Retomemos el ejemplo del volcán, recordemos que antes del terremoto el camino era continuo, ahora  tracemos un sistema de coordenadas de altitud contra distancia, y digamos que queremos acercarnos a un numero por ejemplo c, en este caso tendríamos una altitud de 100 metros,

supongamos que queremos hallar el limite cuando nos acercamos a c, si nos acercamos por la izquierda obtenemos 100m, y si nos acercamos por la derecha obtenemos 100m también  esto implica que no importa el lado por el que nos aproximemos, siempre vamos a obtener el mismo limite. 

Ahora analicemos que sucede después que el volcán hizo erupción  si queremos hallar el limite cuando nos acercamos al punto c desde el rió, obtenemos una altitud de 100m por lo tanto el limite es 100 m, ahora si nos acercamos al punto c desde el volcán obtenemos 120m y tenemos que el limite es 120m,
en realidad al limite cuando nos acercamos desde el rió lo llamamos limite por la izquierda y lo representamos con un signo menos al lado del limite así:

y al limite cuando nos acercamos por  desde el volcán lo llamamos limite por la derecha y lo representamos con un signo mas al lado del limite

dado que el limite cuando nos acercamos por la derecha es diferente al limite cuando nos acercamos por la izquierda concluimos que el limite es indefinido, esto nos lleva a la siguiente definición:

Este concepto es necesario para el estudio de los limites infinitos:

LIMITES INFINITOS

Para entender esto es necesario empezar con un ejemplo, digamos que queremos hallar el limite cuando x tiende a 3 de la siguiente funcion

Si graficamos esta funcion observamos que tiene una asimptota vertical en x=3.

Si intentamos acercarnos a 3 por la izquierda observamos que la funcion decrece sin limite, esto implica que el limite por la izquierda es menos infinito;
ahora si intentamos acercarnos a 3 por la derecha obtenemos que la funcion crece sin limite, como consecuencia el limite cuando x tiende a 3 por la derecha es infinito
Estos son los llamados limites infinitos, que ocurren cuando la funcion crece o decrece sin limite cuando x se aproxima al numero.

Ahora intentemos con otra funcion

Ejemplo 15

Hallemos los siguientes limites